Калькулус: ранние трансцендентальные функции (7-е издание): Основы дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения представляют собой переход от статических алгебраических снимков к динамическим математическим моделям. Вместо того чтобы решать для одного числа, мы ищем неизвестную функцию которая описывает, как система развивается во времени. По сути, дифференциальное уравнение (ДУ) выражает связь между величиной и её скоростью изменения.

Грамматика динамики

А дифференциальное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную функцию и некоторые из её производных. Чтобы говорить на языке ДУ, мы должны определить роли переменных:

Независимая переменная ($t$): Обычно представляет время или положение.
Зависимая переменная ($P$ или $y$): Представляет состояние системы (например, размер популяции).
Порядок: Наивысший порядок производной в уравнении. Например, $y'' + y = 0$ — это уравнение второго порядка.

Модель естественного роста

Рассмотрим закон естественного роста: скорость изменения популяции прямо пропорциональна её размеру. Это переводится в дифференциальное уравнение первого порядка:

$$\frac{dP}{dt} = kP$$

Здесь $k$ — относительная скорость роста. Эта модель предполагает, что чем больше популяция, тем быстрее она растёт — признак экспоненциального поведения.

Проверка решений

Как мы узнаём, является ли функция решением? Она должна удовлетворять тождеству для всех $t$.

Проверка

Пусть $P(t) = Ce^{kt}$. Вычислим производную:

$$P'(t) = \frac{d}{dt}(Ce^{kt}) = C(ke^{kt}) = k(Ce^{kt})$$

Поскольку $Ce^{kt} = P(t)$, имеем $P'(t) = kP(t)$. Тождество выполняется!

Начальные условия и единственность

Решение $P = Ce^{kt}$ на самом деле является семейством решений. Чтобы найти конкретную кривую, нам нужно начальное условие, например, $P(0) = P_0$. Это физическое ограничение позволяет нам найти $C$, определяя уникальный путь нашей системы. Примечание: В биологических контекстах мы требуем $C > 0$, потому что население не может быть отрицательным.

🎯 Ключевое понимание

Дифференциальное уравнение определяет закон изменения; начальное условие определяет начальное состояние. Вместе они однозначно определяют будущее системы.

ВОПРОС 1

Каков порядок дифференциального уравнения $y'' + 3xy' - 5y = e^x$?

Первого порядка

Второго порядка

Третьего порядка

Экспоненциального порядка

ВОПРОС 2

Определите, является ли дифференциальное уравнение $x - y' = xy$ линейным.

Да, его можно записать как $y' + xy = x$

Нет, потому что $x$ и $y$ перемножаются

Нет, потому что $y'$ вычитается

Да, потому что в нём содержатся только первые производные

ВОПРОС 3

Если $\frac{dP}{dt} = 0.05P$ и $P(0) = 100$, каково конкретное решение?

$P(t) = 0.05e^{100t}$

$P(t) = 100 + e^{0.05t}$

$P(t) = 100e^{0.05t}$

$P(t) = Ce^{0.05t}$

ВОПРОС 4

Для логистического уравнения $\frac{dP}{dt} = 0.05P - 0.0005P^2$ какова ёмкость среды $M$?

$M = 0.05$

$M = 100$

$M = 1000$

$M = 0.0005$

ВОПРОС 5

Какое утверждение лучше всего описывает «семейство решений» для ДУ?

Набор различных уравнений, которые имеют одно и то же решение

Набор функций, которые все удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению, обычно различающихся постоянной

Группа переменных в одном уравнении

Производные независимой переменной

Урок 1: Вызов — моделирование и решение

Задачи с начальными значениями и моделирование

Дифференциальные уравнения позволяют моделировать сложные ситуации — от смешивания жидкостей до геометрических свойств. Примените свои базовые знания для решения следующих задач.

Вопрос 1

Геометрическое моделирование: Кривая проходит через точку $(0, 5)$ и имеет в каждой точке $P$ наклон, равный двум ординатам точки $P$. Найдите уравнение этой кривой.

Решение:
1. Переведите в ДУ: наклон $dy/dx = 2y$.
2. Признайте модель роста: $y(x) = Ce^{2x}$.
3. Примените начальное условие $(0, 5)$: $5 = Ce^{2(0)} \Rightarrow C = 5$.
4. Результат: $y = 5e^{2x}$.

Вопрос 2

Интегральные уравнения: Решите $y(x) = 2 + \int_1^x [t - ty(t)] dt$.

Решение:
1. Продифференцируйте обе части, используя основную теорему интегрального исчисления: $y'(x) = x - xy = x(1-y)$.
2. Найдите начальное условие: $y(1) = 2 + \int_1^1 [...] dt = 2$.
3. Разделите переменные: $\int \frac{dy}{1-y} = \int x dx \Rightarrow -\ln|1-y| = \frac{1}{2}x^2 + C$.
4. Примените $y(1)=2$: $-\ln|-1| = \frac{1}{2}(1)^2 + C \Rightarrow 0 = 0.5 + C \Rightarrow C = -0.5$.
5. Решите относительно $y$: $\ln|y-1| = 0.5 - 0.5x^2 \Rightarrow y-1 = e^{(1-x^2)/2} \Rightarrow y = 1 + e^{(1-x^2)/2}$.

Вопрос 3

Продвинутый рост: Решите $\frac{dP}{dt} = kP \cos^2(rt - \phi)$ при $P(0) = P_0$.

Решение:
1. Разделите переменные: $\int \frac{dP}{P} = k \int \cos^2(rt - \phi) dt$.
2. Используйте тождество $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$: $\ln|P| = \frac{k}{2} \int [1 + \cos(2rt - 2\phi)] dt$.
3. Проинтегрируйте: $\ln|P| = \frac{k}{2} [t + \frac{1}{2r}\sin(2rt - 2\phi)] + C$.
4. Результат: $P(t) = P_0 \exp\left( \frac{k}{2}t + \frac{k}{4r}(\sin(2rt-2\phi) + \sin(2\phi)) \right)$ (подбирая $C$ так, чтобы выполнить $P(0)=P_0$).